Фамилия Барбаумов — редкий пример, когда немецкая основа «спрятана» в русском суффиксе. Скорее всего, её принесли в Россию еврейские переселенцы из Германии или Австро-Венгрии, а затем адаптировали по русской модели: к прозвищу или фамилии Барбаум добавили типичное окончание -ов, означающее «чей?», «из рода кого?».

Разберём основу. Барбаум — это сложное слово из двух немецких корней: bar (голый, обнажённый) и Baum (дерево). Буквально — «голое дерево». В бытовом немецком прозвище могло означать сухое, лишённое листвы дерево. Но у фамилий еврейских общин, особенно в Германии и Восточной Европе, был и другой слой значений. Часто такие прозвища давали искусственно, по указу властей, когда в конце XVIII — начале XIX века евреев обязали взять фамилии. Чиновники нередко использовали описательные и даже ироничные сочетания, вроде «пшеничного дерева» (Вейценбаум) или «козьего дерева» (Цигенбаум). Барбаум вполне могло быть фамилией, данной «с натуры» — в насмешку или по внешнему признаку.

Словообразовательная модель Барбаумов — типично русская патронимическая (по отцу). Суффикс -ов указывает на происхождение от человека по прозвищу Барбаум. То есть носитель фамилии — потомок того самого Барбаума. В отличие от фамилий на -ин (от основ на -а/-я) или -ский (географических), эта модель говорит о прямой семейной связи с конкретным лицом.

Интересно, что фамилия почти не получила распространения за пределами бывшей черты оседлости. В современной России она встречается единично, в основном на западе страны и в крупных городах, куда в XX веке мигрировали еврейские семьи. В самой Германии фамилия Барбаум (без окончания) тоже редка, но встречается как самостоятельная. Барбаумов — это уже чисто русский вариант, закрепившийся в документах.

Сравните с однокоренными фамилиями: Барбаум, Барбауман, Барбаумский. Последняя могла возникнуть от топонима (например, местечка с похожим названием), но для формы Барбаумов географическая версия маловероятна — слишком прозрачна личная основа.

Итог: фамилия Барбаумов — «немецкая по корню, русская по суффиксу». Её носители — потомки человека, которого в документах записали как Барбаум (возможно, по месту жительства у голого дерева или по внешней схожести с сухим стволом). Других версий, например от тюркских или славянских корней, у этой фамилии нет — слишком специфична немецкая конструкция.