Фамилия Барбухаки — редкий случай в русском ономастиконе. Её происхождение почти наверняка не славянское, а греческое. Об этом говорит и характерное окончание -аки, и основа, и общая география бытования таких фамилий.

Разберём словообразовательную модель. Суффикс -аки (или -акис) — один из самых распространённых в новогреческой фамильной системе. Он образует уменьшительные или патронимические фамилии, примерно как русский суффикс -ов/-ев. Буквально — «сын такого-то» или «маленький, младший». В Греции фамилии на -акис особенно типичны для острова Крит и некоторых областей Пелопоннеса. При переносе в русскую среду окончание часто упрощалось до -аки, теряя сигму (конечное «с»), как в фамилиях Демьянаки, Пападаки, Христофориди.

Основа «Барбух-» восходит к греческому слову «βαρβούχι» (varvúchi) или его диалектным вариантам. В современном греческом языке это означает «пробка» (затычка), «затор», а в переносном смысле — «толстяк», «пузан». В некоторых говорах так называли небольшой бочонок или сосуд. Скорее всего, прозвище Барбухас (или Барбухакис) дали полному, плотному человеку либо тому, кто делал бочки или пробки. В греческой ономастике есть фамилия Βαρβούχης (Варвухис) с тем же корнем.

Как фамилия Барбухаки могла попасть в русский контекст? Вероятнее всего, через переселенцев. В XIX — начале XX века в Российской империи, особенно в Причерноморье (Одесса, Мариуполь, Таганрог, Новороссийск) и на Кубани, оседали греки из Османской империи и с островов. Они сохраняли фамилии на -иди, -пуло, -аки. После революции и в советское время написание русифицировалось, окончание могло закрепиться как -аки. Встречаются носители фамилии на юге России и в Украине, что подтверждает эту географическую привязку.

Спорных версий здесь немного. Соблазнительно связать фамилию с тюркским «барбух» (что-то вроде «бородач»), но это менее вероятно: греческая модель образования надёжнее объясняет и форму, и ареал. Славянского корня в фамилии нет, искать его не стоит.

Таким образом, Барбухаки — греческая по происхождению фамилия, образованная от прозвища, связанного с внешностью (полнота) или ремеслом (бочар, изготовитель пробок). Носитель этой фамилии, скорее всего, потомок греческих переселенцев юга Российской империи, сохранивший в своей фамилии память о критском или пелопоннесском корне.