Фамилия Барчинская образована по самой распространенной в польской и западнорусской традиции модели — с суффиксом -ск-/-цк-. Такие фамилии обычно указывали на географическое происхождение: их давали по названию поместья, усадьбы или населенного пункта. Основа Барчин- восходит к названию места вроде Барчин, Барча, Барчево. В Польше и на западе современной Беларуси действительно встречаются топонимы Барчин (например, деревня в Куявско-Поморском воеводстве) и Барчево. Таким образом, первый носитель фамилии, скорее всего, был владельцем или жителем такого селения.

Женское окончание -ая (Барчинская) — это русская адаптация польской формы Барчиньска (Barcińska). В польском языке фамилии на -ski/-cka изначально были привилегией шляхты, но со временем распространились и среди крестьян, особенно после разделов Речи Посполитой, когда многие бывшие подданные получали фамилии по месту жительства. Так что предки Барчинских могли быть как мелкопоместными дворянами, так и крестьянами, которых при переписях записывали по названию деревни.

Корень барч- может иметь два объяснения. Первое: от польского barć — «борть», то есть дупло, где жили дикие пчелы. В таком случае Барчин — место, где ставили борти, занимались бортничеством. Второе, менее вероятное: от личного имени Бартош (Бартоломей) в его краткой форме Барч, что давало бы значение «сын Барча». Но топонимическая версия убедительнее, поскольку суффикс -ин- в основе (Барчин-) характерен именно для названий поселений (сравните: Ольгин, Ильин, Барчин).

Фамилия Барчинская встречается в основном на западе России, в Беларуси и в Польше. В России больше всего носителей в Калининградской области и в Москве — что логично для фамилий, пришедших с западных территорий. Мужской вариант — Барчинский. Если ваши предки были из-под Гродно или Бреста, велика вероятность, что их когда-то записали как «шляхтичей Барчинских» — но документально это нужно проверять по метрикам и ревизским сказкам.