Фамилия Бардышевский — это типичная фамилия-топоним, образованная от названия населённого пункта по модели с суффиксом -ск(ий). Такие фамилии в Польше и на западе Российской империи (в Беларуси, на Украине) указывали на дворянское происхождение или на то, что предок был выходцем из определённого места. В основе лежит название вроде Бардышево, Бардышев или Бардыши — поселений с таким корнем достаточно много в Беларуси и западной России.

Корень «Бардыш-» восходит к прозвищу или имени Бардыш. Скорее всего, это производное от слова «барда» — так называли густую мутную жидкость, остаток после перегонки браги, или, в переносном смысле, неряху, неопрятного человека. По другой версии, «бардыш» могло быть вариантом слова «бердыш» — старинного холодного оружия (топора с лезвием на длинном древке). Прозвище Бардыш могли дать либо за неопрятность, либо, наоборот, за воинственный нрав или профессию оружейника. В любом случае, сначала появилось личное прозвище или имя Бардыш, от него — название деревни (Бардышево, Бардышевичи), а уже от географического названия — фамилия Бардышевский.

По сословной принадлежности носители фамилии чаще всего были шляхтой или однодворцами. В Речи Посполитой суффикс -ский был маркером благородного происхождения, и многие польские и белорусские дворяне носили такие фамилии. После разделов Польши часть Бардышевских могла перейти в мещанское или крестьянское сословие, но изначальный «дворянский» суффикс остался в фамилии навсегда. Встречается фамилия и у русских, но чаще — у белорусов и поляков.

В написании возможны варианты: Бардышевский, Бардышевски (полонизированная форма), реже — Бардышевской. Единственная сложность — не путать с фамилией Бердышевский, которая образована от «бердыш» и имеет то же значение, но с другим произношением. Если предки вашей семьи родом из Беларуси или западных областей России, то версия с топонимом наиболее вероятна.