Фамилия Бархан — редкий случай, когда прозвище совпало с хорошо известным географическим термином. Сразу ответим на главный вопрос: прямой связи с песчаными холмами в пустыне здесь нет. В русской среде фамилия образована от прозвища, а не от ландшафта.

Самая вероятная версия — прозвище Бархан дали крупному, плотному, грузному человеку. В южнорусских и украинских говорах слово «бархан» (или «баркан») означало «каравай», «коврига хлеба», а в переносном смысле — «толстяк», «увалень». Человек с таким прозвищем мог быть медлительным, основательным или просто обладать внушительной фигурой. Модель образования проста: прозвище Бархан без дополнительных суффиксов стало фамилией, что характерно для украинской и белорусской традиции (сравните: Шевченко, Коваль). В русском варианте фамилия могла закрепиться в форме Барханов, но фиксация Бархан как неизменяемой фамилии тоже встречается.

Есть и тюркская версия, но она слабее. В тюркских языках «бархан» — действительно песчаный холм, но как прозвище для человека это почти не работало. Скорее всего, если предки были из Поволжья или Приуралья, фамилия могла возникнуть у русских, перенявших слово от соседей-кочевников, но опять же в значении «большой, как холм», а не «пустынный».

Встречаемость фамилии невысокая, и география её размыта: единичные случаи есть в Центральной России, на Украине и в Казахстане. Если ваши предки носили фамилию Бархан, ищите корни в среде крестьян или казаков — прозвища по внешности были там обычным делом. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.