Фамилия Барзаковская почти наверняка — фонетический вариант фамилии Борзаковский. В говорах, где «акают» (а это огромная часть Центральной России, включая Москву), безударное «о» превращается в «а». Так «Борзаковская» на письме и закрепилась как «Барзаковская». То есть звучание одно, а запись — разная.

Основа фамилии — прозвище Борзак. В его основе лежит прилагательное «борзой» — то есть быстрый, резвый, проворный. В старину «борзой» не имело никакого отношения к породе собак: это слово значило «скорый». Прозвище Борзак могли дать человеку, который быстро бегал, был расторопным или служил гонцом. В древнерусском языке «борзость» — это быстрота, а «борзо» — скоро.

Суффикс -ск- указывает на то, что фамилия образована по польской или западнорусской модели (типичной для шляхты и духовенства). Такие фамилии часто указывали на принадлежность к месту или роду: Борзаковский — «потомок Борзака» или «выходец из владений Борзаков». В русской традиции фамилии на -ский долгое время считались более «благородными», чем простые на -ов или -ин, но это не гарантия дворянства — к XIX веку их носили и крестьяне, и мещане.

Встречается написание с «а» (Барзаковская) и с «о» (Борзаковская). Оба варианта — разные записи одного прозвища. Если в документах ваших предков фамилия писалась через «а», это не ошибка, а точная запись живого произношения.

Редкий суффикс -ак в основе (Борз-ак) тоже заслуживает внимания. Такие прозвища были характерны для северных и центральных областей России, где -ак часто обозначало носителя признака: «борзак» — буквально «быстрый человек».