Фамилия Барзаковы — один из тех случаев, когда написание говорит о говоре предков больше, чем о самом прозвище. По сути, это фонетический вариант более распространённой фамилии Борзаковы, который закрепился в «акающих» регионах: там, где вместо чёткого «о» произносили «а». Так борзак превратился в барзака, а фамилия обрела современное звучание.

В основе лежит прозвище Борзак, напрямую связанное с прилагательным «борзой» — то есть быстрый, скорый, проворный. В древнерусском языке слово «борзо» означало «быстро», и такое прозвище могли дать гонцу, скороходу или человеку, который всё делал с необычайной прытью. Модель образования типична для восточнославянских фамилий: прозвище на -ак (Борзак) плюс патронимический суффикс -ов, буквально «сын Борзака».

Интересно, что фамилия Барзаковы встречается реже, чем Борзаковы, и это как раз указывает на её локальный характер. Она могла закрепиться в крестьянской среде центральной России или Поволжья, где аканье было нормой. В документах XVII–XVIII веков, когда фамилии только оформлялись, писцы нередко записывали прозвища на слух — так вариант с «а» мог попасть в переписные книги и закрепиться за целым родом.

Однокоренные фамилии — Борзаков, Борзенков, Борзов — все от той же основы «борзой», но Барзаковы стоят особняком именно из-за диалектного сдвига. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они жили в местности, где «акали», и их прозвище не имело отношения к какому-то редкому ремеслу, а просто характеризовало человека по скорости — физической или в делах.