Фамилия Басаровская — редкий пример фамилии, образованной по модели, типичной для польской или украинской шляхты, но с корнем, который тянет в сторону тюркских языков. В русской среде такие фамилии на «-ский» обычно указывали на дворянское происхождение или на владение землей (поместьем), но в случае Басаровской есть нюанс: основа «басар» — не славянская.

Скорее всего, в основе лежит прозвище или имя Басар, Басара. В тюркских языках «басар» означает «давитель», «победитель», «тот, кто наступает». Это могло быть прозвище воина, сборщика податей или просто человека с тяжелым характером. В русских документах XVI–XVII веков встречаются люди с именем Басар (например, Басар Семенов, сын боярский), и от таких имен легко образовывались фамилии через суффикс «-ов»: Басаров. А вот «Басаровская» — это уже притяжательная форма от Басаров, но с окончанием, характерным для женского рода (жена или дочь Басаровского). То есть исходная мужская фамилия — Басаровский.

Географически фамилия тяготеет к западным и южным регионам бывшей Речи Посполитой: современные Беларусь, Украина, южные области России. Суффикс «-ский» здесь — признак шляхетской или казацкой старшины, но не обязательно высокого титула. В XVII–XVIII веках многие казаки и мещане приписывали себе фамилии на «-ский» для солидности, хотя реального дворянства не имели.

Есть и другая, менее вероятная версия: от географического названия. В Польше и на Украине встречаются села с корнем «Басар» (например, Басаровка). Тогда фамилия указывала бы на выходца из этого места. Но в таком случае логичнее была бы форма «Басаровский», а не «Басаровская» — последняя чаще передает именно родовую принадлежность.

В современном бытовании фамилия встречается крайне редко. Если вы носите её, скорее всего, ваши предки — выходцы из западнорусских земель, где тюркские прозвища смешивались со славянскими фамильными моделями. Никакой связи с «базаром» здесь нет, хотя по звучанию напрашивается.