Фамилия Бащук — типичный пример восточнославянской фамилии, образованной с помощью уменьшительно-ласкательного суффикса -ук. В украинской, белорусской и южнорусской традиции этот суффикс указывал на молодого человека, сына или ученика: Бащук буквально означал «маленький Баш» или «сын Баша». Основа здесь — неполное личное имя Баш, которое могло быть сокращением от крестильных имён Бажен (от «бажать» — желать) или Бася (народная форма Варфоломея). В польском языке существует имя Basz, тоже сокращённая форма от Варфоломея (Bartłomiej).

Но есть и более приземлённая версия. В южнорусских говорах «баш» — диалектное слово, обозначающее барана (ср. тюркское «баш» — голова, но в переносном смысле — упрямец). Прозвище Баш могли дать упрямому, своенравному человеку или тому, кто пас овец. Тогда Бащук — «сын Баша», то есть потомок человека с таким прозвищем. Эта версия правдоподобнее, потому что фамилия плотнее всего встречается на западе Украины (Волынь, Ровенская область) и в приграничных районах Беларуси, где овцеводство было распространённым занятием, а тюркские заимствования в лексике — обычное дело.

География фамилии узкая: Бащуки почти не выходят за пределы исторической Волыни и Полесья. Это не дворянская и не мещанская фамилия — её носителями были крестьяне и казаки. В документах XVIII–XIX веков встречаются единичные упоминания Бащуков среди реестров казаков Черниговского полка, но массово фамилия закрепилась именно в сельской среде. Интересно, что в польских метриках XVII века попадается запись «Baszczuk» — с удвоенной буквой «sz», что выдаёт попытку передать мягкое украинское «щ» латиницей.

Сейчас фамилия остаётся редкой: в России её почти нет, в Украине она сосредоточена в Ровенской и Житомирской областях. Если вы Бащук, ваши предки с высокой вероятностью жили на границе Волыни и Полесья, занимались скотоводством или носили прозвище за характер.