Фамилия Бащинская — редкий случай, где географическая привязка оказывается надёжнее, чем попытка найти прозрачную основу в русском языке. Суффикс -ский указывает на типично польскую или западнорусскую (шляхетскую) модель образования: такие фамилии часто давали по названию имения или местечка. В данном случае основа «Бащ-» скорее всего восходит к названию населённого пункта вроде Баще, Баща или Бащино. Такие топонимы встречаются на территории современной Беларуси и восточной Польши, в зоне исторического влияния польского и белорусского языков.

Сама основа «бащ-» не имеет прямого значения в современном русском. В польском языке есть слово «baszta» — башня, но оно заимствованное из итальянского и в топонимике встречается редко. Более вероятно, что в основе лежит древнее славянское прозвище или диалектное слово. Например, в некоторых говорах «баща» могло означать болтуна, хвастуна или же человека с грубой речью — от глагола «баять» (говорить). Но эта версия остаётся предположительной, так как письменных подтверждений такого прозвища в источниках мало.

Морфологически фамилия образована по стандартной для шляхты схеме: основа + -ин(ск)- + -ий. Окончание -ский в русской традиции закрепилось за дворянскими и духовными фамилиями, но в белорусских и польских землях его носили и крестьяне, если их предки жили в определённой местности. Таким образом, носитель фамилии Бащинский — потомок человека, который либо владел землёй в местечке Баще, либо был оттуда родом.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Бащенко, Бащин, Бащук — показывает, что все они происходят от одного корня, но различаются по суффиксам: украинское -енко, русское -ин, польско-белорусское -ский. Это говорит о том, что фамилия Бащинский не случайна, а входит в целое гнездо родственных фамилий, разошедшихся по разным славянским регионам.

В дореволюционных адресных книгах и метриках фамилия встречается эпизодически, в основном на территории Минской и Гродненской губерний. После 1917 года часть носителей могла переселиться в центральные области России, но в целом фамилия остаётся малочисленной и локальной. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на карты Гродненщины и Брестчины — именно там, вероятно, находилась та самая «Баща», от которой пошла фамилия.