Фамилия Бадынский — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ский, типичный для польской, украинской и белорусской шляхты или для искусственных семинарских фамилий. Однако в данном случае он, скорее всего, указывает на географическое происхождение: так называли человека, который приехал из селения с корнем Бадын- или Бадин-. Такие топонимы встречаются в Западной Украине и Польше (например, деревни Бадын, Бадыны), но в документах они не слишком известны, что говорит о локальном, почти угасшем названии.

Основа фамилии — Бадын — может восходить к диалектному прозвищу. В русских и украинских говорах слово «бадыль» (или «бадиль») означало сухую траву, стебель, сорняк, а также невысокого, худого человека. Сравните с фамилиями Бадылев, Бадиль. Если прозвище дали за внешность или характер, то «Бадын» — это уменьшительная форма от «бадыль». Вторая версия — от имени или прозвища Бада, которое могло быть производным от крестильного имени Вадим (через форму Вадя → Бадя) или от тюркского «бады» (крепкий, сильный). Но здесь больше правдоподобия у славянской диалектной основы, так как суффикс -ский тяготеет к восточноевропейской ойконимии.

Социальный контекст: носители фамилии Бадынский, скорее всего, были мещанами или крестьянами, получившими фамилию по месту жительства при переписях XIX века. В Польше и на западе Украины такие фамилии часто давали жителям одного хутора или деревни, отличая их от соседей. В России фамилия встречается крайне редко, и её можно встретить в основном у потомков переселенцев из западных губерний.

Если ваши предки носили фамилию Бадынский, стоит искать корни в Волынской, Подольской или Гродненской губерниях — там топонимы с основой «Бадын» фиксируются в старых картах. Альтернативный, но менее вероятный вариант — искусственное образование в духовных училищах: от латинского «badius» (каштановый, рыжий) или греческого «бадинос» (глубокий), но такие случаи единичны и не подкреплены массовыми данными.