Фамилия Башлеева — женская форма фамилии Башлеев, и её разбор стоит начать с неочевидного: суффикс -еев здесь нестандартный. В русских фамилиях чаще встречается -ев (от основ на мягкий согласный) или -ов (от основ на твёрдый), но -еев появляется, если основа оканчивается на -ей или -ея. В данном случае основа — Башлей или Башлея, а не Башль или Башла.

Самая прямая версия: прозвище Башлей. В южнорусских и украинских говорах «башлей» или «башли» — это деньги, плата (из тюркского başlık — «подать», «налог»). Так могли прозвать сборщика податей, казначея или просто человека, который постоянно говорил о деньгах. Слово это фиксируется в словаре Даля именно в значении «деньги», с пометкой «южное». Фамилия Башлеев/Башлеева тогда — «сын (или дочь) того, кого звали Башлей».

Есть и вторая, менее вероятная версия: от тюркского имени Башлы (буквально «главный», «старший») через форму Башлей. Но тогда фамилия скорее писалась бы Башлыев или Башлеев — с тем же суффиксом, но основа была бы иной. Поскольку мы имеем дело с Башлеева, а не Башлыкова, версия с прозвищем «деньги» выглядит логичнее.

Географически фамилия редкая, встречается в основном в Поволжье и на юге России — в тех областях, где было сильно тюркское влияние и где бытовало слово «башли». Встречается она и у татар, и у русских, что неудивительно: слово пришло из тюркских языков, но прижилось в местных русских говорах.

По сословной принадлежности сказать что-то определённое сложно. Сборщик податей — должность не крестьянская и не дворянская, скорее мещанская или купеческая, но прозвище могло закрепиться и за крестьянином, который «башлял» (платил) или требовал плату. Единственное, что можно утверждать: фамилия образована не от крестильного имени, а от прозвища или нарицательного слова, что типично для поздних русских фамилий XVI–XVII веков.