Фамилия Баталыгин — редкий случай, когда корень слова почти наверняка указывает на конкретное занятие предка, но само это занятие успело исчезнуть из быта. Основа здесь — «баталыга». В русских говорах, особенно южных и волжских, так называли небольшую ручную мельницу для размола зерна, чаще всего переносную или настольную. Человек, который делал такие мельницы или работал на них, получал прозвище Баталыга. От него через стандартный патронимический суффикс -ин и возникла фамилия: Баталыгин — «сын Баталыги».

Интересно, что слово «баталыга» — заимствование из тюркских языков. В татарском, башкирском и казахском «баталы» означает нечто вроде «снабжённый колотушкой» или «ударный», что прямо описывает принцип работы ручного жернова. Фамилия фиксируется в документах начиная с XVII века, преимущественно в районах, где было сильно тюркское влияние: в Нижегородской, Симбирской, Саратовской губерниях. Это не дворянская фамилия, а крестьянская или посадская — прозвище давали человеку по ремеслу, которое в те времена было обычным делом в каждом селе.

Встречается и другая, менее вероятная версия: связь с диалектным глаголом «баталыжить» — «бить, колотить». В этом случае прозвище Баталыга мог получить драчун или буян. Но ономастика предпочитает более конкретные, «ремесленные» толкования, когда есть точное значение слова, а не размытое действие. Тем более что ручная мельница — предмет, который был у каждой семьи, и мастер, их делавший, был на виду.

Фамилия осталась редкой. Носители Баталыгины встречаются точечно в Поволжье, на Урале и в Сибири — там, куда в XIX веке переселялись крестьяне из тех же губерний. Суффикс -ин указывает на принадлежность к «дому» или «роду» конкретного Баталыги, а не на целое село (как было бы с фамилиями на -ский). Так что перед вами не география, а прямое указание на предка-мельника, который молол зерно на ручном жернове, пока не появились водяные и паровые мельницы.