Фамилия Батюх — редкий случай, когда суффикс сразу выдает географию. Окончание -их (в родительном падеже единственного числа) характерно для северных и северо-восточных русских говоров, особенно для Архангельской, Вологодской областей и бывших новгородских земель. Такие фамилии, как правило, закрепились в крестьянской среде и означали принадлежность к дому или роду: Батюх — буквально «из семьи Батя» или «из дома Батюха».

Основа фамилии — Батюх — восходит к личному имени или прозвищу Батюх. Скорее всего, это производная форма от крестильного имени Варфоломей (через народное Батоломей или Батюля) или от имени Вавила. В говорах слово «батя» означало отца, а «батюха» — ласковое или уважительное обращение к старшему мужчине, отцу семейства. Таким образом, прозвище Батюх мог получить либо человек, которого звали уменьшительным от церковного имени, либо глава большого рода, «батя» в прямом смысле.

В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые фиксировали отчество по отцу (Иван — Иванов), фамилии на -их/-ых были более «домашними»: они отвечали на вопрос «чей?» и часто переходили по наследству вместе с прозвищем. В переписных книгах XVII–XVIII веков можно встретить варианты написания: Батюхов, Батюхин, но форма Батюх — исходная, без дополнительного суффикса, что говорит о её древности и сохранении архаичной модели.

Сейчас фамилия Батюх встречается редко, в основном на Русском Севере. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или посадскими людьми из Вологодчины или Архангельской губернии. Ударение, судя по аналогичным фамилиям (Корнюх, Борзюх), падает на первый слог: Бáтюх.