Фамилия Батух — редкий случай, когда мы почти наверняка можем определить её географическое происхождение, не заглядывая в списки носителей. Судя по финали -ух, это типичная западноукраинская фамилия, характерная для Галиции, Волыни и Подолья. В украинской ономастике суффикс -ух выполняет ту же роль, что в русских фамилиях -ов или -ин: он превращает прозвище или имя в фамилию, но делает это по-своему, через уменьшительную или фамильярную форму. Сравните: Демьян → Демчук, а Батух — это, скорее всего, Батый + -ух.

Основа фамилии — «Бат» — ведет к нескольким версиям, и самая правдоподобная связана с крестильным именем Варфоломей. В народном произношении это имя сокращалось до Бат, Батко, Батуха, как Фёдор превращался в Федьку, а Иван — в Ваню. Тогда Батух — это «маленький Варфоломей» или «сын Варфоломея». Вторая версия — от прозвища Батый, которое давали либо за сходство с ханом (крупный, властный), либо за крутой нрав. В русских говорах «батух» могло означать «дурак» или «упрямец» (от «бат» — колотить, бить), но для украинской фамилии это маловероятно: на западе Украины слово «батух» не фиксируется в таком значении.

Интересная деталь: фамилия Батух почти не встречается за пределами Украины и соседних регионов Польши. Если ваш предок носил её, он с высокой вероятностью жил в сёлах Львовской, Тернопольской или Ивано-Франковской области. В XIX веке такие фамилии на -ух чаще всего принадлежали крестьянам и мещанам — в дворянской среде преобладали модели на -ский и -ович. Социальный статус был скромным, но фамилия сохранила живую народную форму, которую не «причесали» под официальный русский шаблон.