Фамилия Баьушкин — редкий случай, где написание сразу бросается в глаза. Твёрдый знак «ь» в корне — не опечатка и не дань моде, а след старого произношения или диалектной особенности. В русских фамилиях твёрдый знак встречается крайне редко, и если он есть, значит, когда-то он реально звучал: фамилию произносили с отчётливым разделением — «Ба-ьушкин», а не «Баюшкин». Это сразу отсекает фамилию от более привычных Баюшкин или Баев.

Основа фамилии — прозвище или неканоническое имя Баьушка. Слово «баять» в древнерусском означало «говорить, рассказывать, заговаривать». Баюн — говорун, краснобай, сказочник. Отсюда и «баюшки-баю» — колыбельная, где мать «бает», то есть наговаривает сон. Баьушка — это человек с даром речи: либо знахарь, заговаривающий болезни, либо сказитель, либо просто болтун. Вариант с твёрдым знаком фиксирует произношение, где гласный «а» не сливался с «ю»: «Ба-ьушка», а не «Бай-ушка».

Суффикс «-ин» указывает на принадлежность: «чей?» — Баьушкин, то есть сын, потомок или человек из рода Баьушки. Модель типична для северных и центральных русских говоров, где фамилии на «-ин» образовывали от прозвищ на «-а/-я». Географически фамилия тяготеет к регионам, где сохранялось цоканье или оканье, но точных данных о распространении нет — она крайне редкая.

В сословном отношении Баьушкины могли быть крестьянами или посадскими. Прозвище «баюн» не несло негативного оттенка: в сказках и былинах баюны — мудрые и уважаемые люди. В словаре древнерусских имён такие прозвища фиксируются как личные имена, а в XIX веке фамилия могла закрепиться за одним родом в конкретной местности.

Сравните с однокоренными: Баюшкин — более массовая форма, где «ь» не писался; Баев — от «бай» (богач, хозяин); Баюнов — от «баюн» (сказитель). Баьушкин стоит особняком — из-за редкого написания он легко терялся в переписях и мог видоизменяться. Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они были носителями живой устной традиции — сказителями или знахарями, чей голос ценили в общине.