Фамилия Байберов — редкий случай, когда внешне «иностранная» основа оказывается вполне русской по модели образования и, скорее всего, по происхождению. Разберем её по частям.

Конечное -ов указывает на стандартную русскую патронимическую модель: «чей?» — «Байберов», то есть сын или потомок человека по прозвищу или имени Байбер. Суффикс -ов (а не -ев) говорит о том, что основа оканчивалась на твёрдый согласный. Сама основа Байбер звучит как заимствованная, и это главная загадка.

Самая правдоподобная версия связывает фамилию с тюркскими языками. В них корень «бай» означает «богатый», «господин», «хозяин» (вспомните бая, байгуша, а также частое в фамилиях Байков, Баймуратов). Вторая часть — «бер» — может восходить к глаголу «давать» (бир-/бер-). Таким образом, прозвище Байбер могло означать «богатый дающий», «щедрый господин» или «тот, кто даёт богатство». В тюркской среде такие составные имена-пожелания были распространены. Носитель этого прозвища мог быть человеком, прославившимся щедростью, либо потомком выходца из Золотой Орды или более поздних татарских родов, перешедшего на русскую службу.

Менее вероятная, но возможная версия — от немецкого или еврейского имени Байбер (Baiber, Beiber) как вариации фамилии Бибер (Biber — «бобр»). Однако в этом случае фамилия должна была бы писаться через -ер (Байбер) и не получить русского суффикса -ов, если бы носитель не обрусел. Появление -ов как раз и говорит о том, что предок был крещён или жил в русскоязычной среде, и его прозвище было оформлено по русскому обычаю.

Однокоренных фамилий в русском ономастиконе крайне мало. Можно вспомнить разве что Байбаров, где вторая часть — «бар» (от персидского «господин»), или Байбердин (с тюркским «берды» — «дал»). Байберов стоит особняком — это не массовая фамилия, а скорее локальное прозвание, закрепившееся в одном или нескольких родах.

Географически фамилия встречается в Поволжье и на Урале — в регионах, где исторически было сильное тюркское влияние и смешение культур. Если ваши предки-Байберовы были из тех мест, версия с тюркским корнем «бай+бер» становится почти бесспорной. Социально предки могли быть как крестьянами, получившими прозвище за характер, так и служилыми людьми (например, толмачами или казаками) тюркского происхождения, чья фамилия просто закрепилась в документах.