Фамилия Баютова в своей основе имеет глагол «баять» — говорить, рассказывать, сказывать. В древнерусском языке «баюн» или «баян» означало говорун, краснобай, сказочник. Отсюда и прозвище Баюта — человек, который хорошо и складно говорит, возможно, балагур или сказитель. Вряд ли это имя давали молчуну — скорее, тому, кто умел увлечь слушателей, будь то на посиделках, на ярмарке или в кругу семьи. Фамилия образована по типичной для русских фамилий модели: к основе на -а (Бают-) добавили суффикс -ов, а затем женское окончание -а. То есть Баютов — сын Баюты, а Баютова — его жена или дочь.

Интересная деталь: фамилия эта редкая, но географически привязана к определённым местам. Судя по архивным записям и современным данным, Баютовы чаще всего встречаются в Пермском крае и на Урале. Это не случайно. В северных и уральских говорах слово «баять» сохранилось дольше, чем в центральных областях. Там же бытовали «баюны» — не просто говорливые люди, а знатоки старины, умельцы рассказывать былины и сказки. Поэтому предки современных Баютовых вполне могли быть сказителями, песенниками или просто людьми с острым языком, которых прозвали за их речь.

Словообразовательно фамилия стоит в одном ряду с Баюшкиным, Баяновым, Баевым — все они от того же корня. Но суффикс -ут(а) в основе Баюта встречается реже, чем -ун или -й. Такие прозвища на -ута (как Гулята, Вертута) в русской ономастике считаются более архаичными, они уходят корнями в допетровскую эпоху. Это косвенно говорит о том, что фамилия могла сложиться в крестьянской или посадской среде не позднее XVII века. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — скорее всего, это фамилия простого сословия, закрепившаяся за одним родом в конкретной волости.

Есть и вторая, менее вероятная версия: от тюркского имени Бают или Баюта, которое могло попасть в русскую среду через татар. Но для этого нет убедительных доказательств — в русских говорах «баять» слишком распространённый корень, чтобы искать заимствование. Так что основная версия остаётся самой правдоподобной: предки носителей фамилии Баютова были людьми, умевшими хорошо говорить и рассказывать.