Фамилия Баютин образована от прозвища Баюта. Скорее всего, его дали красноречивому человеку, который умел увлечь слушателей историями. В основе прозвища — глагол «баять» (говорить, рассказывать). В старину даже бытовало слово «баутчик» в значении «краснобай, балагур, говорун». Так что предок Баютиных, по этой версии, был отличным рассказчиком.

Но есть и другая, менее очевидная версия. В тульских и пермских говорах словом «баут» называли железный болт. Тогда прозвище могло быть профессиональным: предок занимался изготовлением скобяных изделий, работал с металлом. В некоторых диалектах «баутом» называли паука или овода. В этом случае прозвище могло указывать на черты характера, которые в народе связывали с этими насекомыми, — например, на язвительность или цепкость.

Какая из версий верна для вашей ветви, сказать сложно. Словообразовательная модель типична: к основе Бают- добавился суффикс -ин, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Баюты). Фамилия редкая, однокоренных ей в русском языке немного.