Фамилия Баюта — редкий пример, где суффикс указывает на географию точнее, чем корень. Окончание -юта характерно для украинских и белорусских фамилий (сравните: Гута, Малюта, Шута). В русской традиции такой формант почти не встречается, поэтому с высокой вероятностью предки носителя фамилии происходили с территории современной Украины или юго-западных областей Беларуси.

Основа фамилии — глагол «баять» (говорить, рассказывать, заговаривать). В древнерусском языке «баюта» могло быть прозвищем говорливого человека, сказителя или того, кто умел заговаривать — например, знахаря. В некоторых говорах «баять» означало ещё и «колдовать», «шептать заговоры», так что прозвище могло относиться к человеку с необычным даром слова.

Менее вероятная версия связывает фамилию с тюркским корнем «бай» (богатый, господин), но суффикс -юта для тюркских заимствований нехарактерен, а на украинской почве такое словообразовательное гнездо выглядит искусственным. Поэтому версия с «баять» — основная.

Фамилия недворянская и нестарая: оформилась она в крестьянской и казачьей среде не ранее XVII–XVIII веков, когда прозвища начали закрепляться в качестве наследственных. В современных российских базах данных Баюта встречается редко, чаще — в Черниговской, Сумской и Полтавской областях Украины, что подтверждает её западнорусское происхождение.

Интересная деталь: в польском языке есть слово «bajuta» — сказка, выдумка. Если фамилия попала на земли Речи Посполитой, она могла получить дополнительный оттенок: прозвище фантазёра или сочинителя. Но в польской ономастике суффикс -юта нестандартен, так что это скорее параллель, чем прямой источник.