Фамилия Базаджи — редкий для России пример, в основе которого лежит не имя и не род занятий в привычном для средней полосы смысле, а местный кавказский и крымский быт. Образована она напрямую от прозвища, а то, в свою очередь, от слова «база». Так у народов Крыма и Кавказа называют хмельной напиток, который варят из проса, кукурузы или ячменя. Древнегреческий историк Геродот упоминал этот напиток под названием «ячменное вино». Прозвище Базаджи, скорее всего, закрепилось за человеком, который этот напиток делал или им торговал — ремесло было и заметным, и доходным.

С точки зрения словообразования фамилия не вписывается в типичную русскую модель на -ов/-ев или -ин. Суффикс -джи (или -жи) — тюркский по происхождению, он указывает на профессию или род деятельности. То есть Базаджи дословно означает «тот, кто делает базу» или «продавец базы». Такая модель широко распространена у народов, испытавших влияние турецкого и крымскотатарского языков: достаточно вспомнить фамилии вроде Кебабджи или Кязымджи.

В Россию фамилия попала, вероятно, вместе с переселенцами из Крыма или с Северного Кавказа, где база была традиционным напитком. Встречается она редко, и в большинстве случаев её носители — потомки тех, кто занимался этим специфическим промыслом. Других версий происхождения, например от слова «база» в значении «основа» или «склад», нет — они лингвистически слабы и не объясняют характерного окончания фамилии.