Фамилия Бегешева — женская форма от Бегешев, и в её основе почти наверняка лежит тюркское личное имя или прозвище. Модель образования типична для русских фамилий из тюркской среды: корень «Бегеш» плюс русский патронимический суффикс -ев, указывающий на принадлежность («сын Бегеша»). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Беге́шева.

Сам корень «Бегеш» восходит к тюркскому слову «бег» (князь, господин, правитель) с уменьшительным или ласкательным аффиксом -еш. Имя Бегеш можно перевести как «князёк», «маленький господин» — не столько указание на реальный титул, сколько прозвище, данное ребёнку в знак уважения или с пожеланием ему стать влиятельным человеком. В тюркской ономастике такие имена с компонентом «бек» очень распространены: вспомните фамилии Бекешев, Бикеев, Бигеев — все они из одного гнезда.

Географически фамилия Бегешева тяготеет к регионам, где исторически жили тюркские народы и шло активное смешение с русским населением. Чаще всего её носителей можно встретить в Татарстане, Башкортостане, а также в Оренбургской и Астраханской областях. Встречается она и у казахов, башкир, ногайцев — у многих тюркских народов есть имя Бегеш, которое в процессе русификации и получило фамильное оформление.

Сословная принадлежность первых Бегешевых могла быть разной. Тюркское «бег» не обязательно означало аристократа: так могли называть зажиточного крестьянина, старшину рода или просто уважаемого человека. Поэтому среди предков могли быть как служилые татары (мурзы), так и государственные крестьяне. В документах XVIII–XIX веков фамилия фиксируется именно в среде крещёных и некрещёных татар, а также у башкир-вотчинников.

В написании фамилии возможны варианты через «и» (Бегишева) или через «а» (Багашева), но форма с «е» — самая частотная и закреплённая. Если ваши предки носили фамилию Бегешева, скорее всего, в их роду был человек по имени Бегеш — «маленький князь», чьё прозвище передалось потомкам.