Фамилия Бегеун — один из тех редких случаев, когда основа не даёт однозначного толкования, но сама по себе интересна словообразованием. Прежде всего бросается в глаза суффикс -ун. В русских фамилиях он встречается нечасто и обычно указывает на прозвище, образованное от глагола по модели действия: бегун (от «бегать»), крикун, говорун. Фамилия Бегеун выглядит как вариант того же корня, но с другим чередованием гласного в корне — «е» вместо «и». Такое чередование (бег-/бег-) возможно, если исходное слово было диалектным или просторечным. В некоторых говорах «бегеун» могли называть непоседливого, суетливого человека, того, кто постоянно куда-то спешит или не может усидеть на месте.

Однако нельзя исключать и другую версию: фамилия могла быть образована от личного имени или прозвища, не связанного напрямую с бегом. В южнорусских и украинских говорах слово «бега» означало «беда», «напасть», а «бегец» — «несчастный». Тогда Бегеун мог получить своё прозвище по тяжёлой судьбе или характеру. Подтвердить эту гипотезу сложно, но она не менее правдоподобна, чем первая.

География фамилии подсказывает, что она преимущественно украинская или южнорусская. Суффикс -ун характерен для украинской ономастики: в этой среде фамилии на -ун (Крикун, Скакун, Бігун) встречаются гораздо чаще, чем в северных регионах России. Написание через «е» (Бегеун) вместо ожидаемого «Бигун» или «Бегун» может быть следствием аканья или орфографической фиксации живого произношения в документах XIX века.

Интересно, что фамилия сохранилась в очень небольшом числе носителей. Это говорит о том, что она не прошла через массовую унификацию, когда редкие прозвища заменяли на более привычные. Возможно, предки Бегеунов жили в изолированной местности, где прозвище закрепилось за целым родом и перешло в фамилию без изменений. В любом случае, её основа — яркое, образное прозвище, которое в прошлом точно давало окружающим представление о человеке: либо о его подвижности, либо о нелёгкой доле.