Фамилия Беглюк — один из тех случаев, когда прозвище, лёгшее в основу, понятно без словаря, но его точное значение приходится выбирать из нескольких вариантов. Корень здесь очевиден — «бег», «бегать». Суффикс -юк характерен для западнорусских, украинских и белорусских земель: он часто указывает на принадлежность к роду или на носителя определённого качества (сравните: Костюк, Павлюк, Бондарюк). Таким образом, Беглюк — это, скорее всего, человек, которого назвали за какую-то особенность, связанную с бегом.

Прозвище могло указывать на скоростные качества: быстрого ходока, скорохода или бегуна. Однако в русской ономастике глагол «бегать» имел и более конкретное, социальное значение. Нередко прозвище Беглый или Бегун давали беглым крестьянам — тем, кто ушёл от помещика, спасаясь от непосильного гнёта или повинностей. В этом случае фамилия Беглюк могла закрепиться за потомком такого беглеца.

Существует и третья, «профессиональная» версия. Беглюком могли прозвать гонца или посыльного. В Древней Руси и позднее, вплоть до создания регулярной почты, гонцы были главным средством связи между княжествами, а затем и между уездами. Летописи сохранили свидетельства, что ещё при князе Олеге посланники могли менять уставших лошадей в любом селе по пути или даже конфисковать коня у первого встречного, если того требовала срочность. Человек, чья жизнь проходила в постоянных переездах и передаче известий, легко мог получить прозвище Беглюк.

Прямых упоминаний фамилии Беглюк в ранних документах найти не удалось, но есть близкая родственная фамилия Бегунов. Одно из первых известных упоминаний относится к 1590 году: в Мещере записан Воин Иванович Бегунов. Это показывает, что прозвищный тип, связанный с бегом, был в ходу уже в XVI веке. Фамилия Беглюк, вероятно, оформилась чуть позже и имеет более выраженную западнорусскую или украинскую огласовку, что сужает её географию бытования.