Фамилия Бегоутова — женская форма фамилии Бегоутов, а та, в свою очередь, образована от прозвища Бегоут. Самая прямая версия: Бегоут — это «тот, кто быстро бегает». В основе лежит глагол «бегать», а вот вторая часть, «-ут», требует отдельного разговора. Это нестандартный словообразовательный элемент для русского прозвища, и именно он отличает фамилию от более привычных Бегунов, Бегловых или Бегаевых.

Элемент «ут» в прозвище Бегоут — штука редкая. В русском языке он чаще встречается как начало глаголов (утаить, утоптать), но здесь, скорее всего, перед нами усечённая форма от другого, более длинного слова. Какого именно — точно сказать сложно. Возможно, это остаток от тюркского или другого иноязычного корня, который со временем переосмыслили на русский лад, «подогнав» под знакомую модель с глаголом «бегать». В любом случае, прозвище Бегоут звучало энергично и, вероятно, принадлежало человеку подвижному, быстрому или нетерпеливому.

Суффикс «-ов» в основе фамилии указывает на типичную русскую модель образования: Бегоутов — сын Бегоута, «чей?» — то есть потомок человека с этим прозвищем. Сама фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, появившаяся в среде, где прозвища давали по яркой внешней примете или поведению.

Встречается фамилия Бегоутова нечасто. Основной ареал — центральные и южные регионы России, но точных статистических данных по распространению мало. Из-за редкости корня её иногда путают с фамилией Бегутова, где основа — «бегут» (форма глагола), но это разные фамилии с разной историей. В случае Бегоутова мы имеем дело не с глагольной формой, а с прозвищем, которое застыло в родовом имени.