Фамилия Бегоулова — женская форма фамилии Бегоулов, и её происхождение стоит искать в прозвище дальнего предка по мужской линии. Основа здесь — глагол «бегать» в старом, диалектном или просторечном звучании. Скорее всего, перед нами вариант слова «бегоу́л» — тот, кто бегает, скороход, или, в переносном смысле, непоседа, бродяга, человек, который не сидит на месте. В русских говорах слово «бегоун» (с корнем «бег-») фиксировалось именно в значении «беглец» или «бродяга», и «бегоул» — его фонетический родственник.

Модель образования типична для русских фамилий: к основе прозвища добавили патронимический суффикс -ов, указав на принадлежность к роду Бегоула. То есть Бегоулов — это буквально «сын Бегоула». Окончание -а в вашем варианте указывает на женщину, чаще всего на жену или дочь носителя фамилии.

Интересная деталь: фамилия редкая и имеет ярко выраженную географическую привязку. Основной ареал её бытования — юг России, в особенности Ростовская область и Краснодарский край, а также прилегающие территории. Это наводит на мысль, что прозвище могло закрепиться в казачьей среде, где «бегоул» могло означать не просто непоседу, а человека, находящегося в бегах, уклоняющегося от службы, или, напротив, отличного ходока и разведчика. В донских говорах слово «бегун» имеет и значение «отчаянный, удалой человек», что тоже могло стать основой для прозвища.

Сравните с однокоренными фамилиями: Бегунов, Бегаев, Беглов. Бегоулов стоит особняком из-за редкого суффикса -ул, который чаще встречается в украинской и южнорусской антропонимии (сравните: Кривуля, Хрипуля). Это лишний раз подтверждает южное происхождение фамилии. Таким образом, ваш предок по мужской линии вряд ли был знатного рода или крупным землевладельцем — скорее, это был простой человек, получивший прозвище за свой характер, образ жизни или род занятий.