Фамилия Бегретов — редкая и с неочевидной этимологией. В ней нет привычного суффикса -ов или -ин, который указывал бы на прямое отчество от крестильного имени. Основа «Бегр-» и суффикс -етов сразу наводят на мысль о тюркском происхождении. Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от прозвища или имени Бегрет, где «бег» (или «бек») — тюркский титул «господин, князь», а «рет» может быть искажённым «ер» (мужчина) или частью сложного имени. В тюркских языках «бек» часто присоединялся к личным именам, обозначая знатность или уважение (например, Бекмурат, Бекбулат). Таким образом, Бегрет могло означать «господин муж» или быть именем-пожеланием.

Вторая версия, более прозаичная, связывает фамилию с русским диалектным словом «бегр» или «бегрий» — так в некоторых говорах называли беглого, бродягу или человека, склонного к побегам. Суффикс -етов мог возникнуть как вариант -ов после мягкой основы или в результате народной переделки. Но эта гипотеза менее вероятна: в русских фамилиях от прозвищ на -ец обычно появляется суффикс -ов (Беглецов), а форма Бегретов выглядит искусственной.

География фамилии узкая. По данным открытых источников, Бегретовы встречаются в основном в Поволжье и на Южном Урале — регионах, где веками соседствовали славянское и тюркское население. Это косвенно подтверждает тюркскую версию: фамилия могла закрепиться за выходцами из татарских или башкирских родов, которые обрусели, но сохранили исходное имя.

С точки зрения словообразования, Бегретов — патронимическая фамилия, отвечающая на вопрос «чей?». Перенос ударения на второй слог (БегрЕтов) или на первый (БЕгретов) не меняет сути. В любом случае, это не крестильная фамилия от православного святца, а бытовое или этническое прозвище, которое стало родовым. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были не из центральной России, а из зоны контакта культур, где смешивались языки и обычаи.