Фамилия Бегров относится к типичным русским фамилиям, образованным при помощи суффикса -ов от прозвища или мирского имени. В основе лежит слово «бег» или, скорее, глагол «бегать». Но прямой переход от «бега» к фамилии не очевиден: в древнерусском языке «бегр» как самостоятельное слово не зафиксировано. Скорее всего, перед нами прозвище Бегр — так могли называть быстрого, подвижного человека, непоседу, того, кто постоянно куда-то спешит или убегает. В говорах встречается и слово «бегун» в том же значении, а фамилия Бегров — его более редкая параллель.

Модель образования проста: прозвище Бегр + патронимический суффикс -ов, означающий «сын Бегра». Первоначально так говорили о младшем члене семьи: Иван Бегров — это Иван, сын Бегра. Со временем фамилия закрепилась и перестала зависеть от поколения.

Существует и менее вероятная версия, связывающая фамилию с тюркским корнем «бег» (князь, господин), но она слаба: в русском языке слово «бегр» в значении «вельможа» не употреблялось, а форма Бегров вместо ожидаемого Бегов или Бегев выглядит искусственной. Поэтому прозвищное происхождение от глагола «бегать» остаётся основным.

Географически фамилия Бегров встречается в центральных и южных областях России, но нигде не образует плотных гнёзд. Это редкая фамилия, что неудивительно: прозвище Бегр было не самым распространённым. В дореволюционных источниках Бегровы фиксируются в основном среди крестьян и мещан, без связи с каким-то конкретным ремеслом или сословием.

Стоит обратить внимание на ударение: в фамилии оно падает на второй слог — Бегро́в. Если бы ударение было на первый слог (Бе́гров), это указывало бы на происхождение от слова «бегр» с другим значением, но в русской ономастике закрепился именно вариант Бегро́в. Так что предок носителя этой фамилии, скорее всего, был человеком проворным и непоседливым — и это качество стало его семейным именем.