Фамилия Белешко — звучит по-украински, и это первая зацепка. Суффикс -к- в восточнославянских фамилиях часто указывает на уменьшительную или прозвищную форму, а окончание -о (вместо привычного -ов) — типичная черта украинской ономастики, особенно для фамилий, образованных от личных прозвищ или имён.

В основе лежит корень «бел-», который в славянских языках связан с цветом («белый»). Но напрямую «Белешко» — это не «маленький белый». Скорее всего, перед нами прозвище, образованное от глагола «беле́ть» или прилагательного «белый» через суффикс -ешк-, который придаёт слову оттенок ласкательности или пренебрежения (ср. «парнишка», «глупышка»). Так могли прозвать человека со светлыми волосами или бледной кожей — «беляша», «белобрысого». Но есть и другая версия: в южнорусских и украинских говорах «белешкой» иногда называли белый хлеб, калач или что-то белое и мягкое. Тогда прозвище могло пристать к пекарю, торговцу мукой или просто к любителю белого хлеба.

Словообразовательная модель фамилии Белешко редкая. Суффикс -ешк- в фамилиях встречается нечасто (сравните с Бережко, Колешко), что делает её отличительной. Ближайшие родственники по корню — фамилии Белый, Белов, Беляев, Беляк, Беленький. Но Белешко стоит в стороне: оно не патронимическое (не от отца по имени), а именно прозвищное, причём с яркой экспрессивной окраской.

Географически фамилия тяготеет к западу и центру Украины, а также к приграничным областям России (Брянская, Курская, Белгородская). Встречается и у белорусов, но реже. В дореволюционных документах её могли записывать по-разному: Белешко, Белешка (в родительном падеже), а в польском влиянии — Белешко как дворянская фамилия герба Гржимала. Последнее, правда, единичные случаи, и основная масса носителей — это крестьяне и мещане, получившие фамилию по уличному прозвищу.

Сословного барьера у фамилии не было: Белешко встречается и в реестрах запорожских казаков, и в метрических книгах сельских церквей. Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был заметным человеком в своей общине — не по богатству, а по внешности или роду занятий.