Фамилия Белковецкая — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает прозвищное. Основная версия: перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная от названия населённого пункта с суффиксом -ец. В основе лежит топоним Белковец или Белковцы — такие деревни и сёла есть в Беларуси (например, Белковцы в Витебской области) и на западе России. Человек, переехавший из такого места, получал прозвище Белковец, а его потомки — фамилию Белковецкий. Суффикс -ск- в фамилии как раз и указывает на связь с местом: «тот, кто родом из Белковца».

Если же отбросить географию, корень белк- наводит на мысль о прозвище Белка. Но здесь важно различие: прозвище от названия зверька обычно давали человеку подвижному, верткому или с белыми волосами. Однако в таком случае фамилия звучала бы как Белкин (для русского ареала) или Белков (для украинского и белорусского). Форма на -ецкий и -цкая характерна именно для топонимических фамилий, а не для прозвищных. Поэтому версия с прозвищем для Белковецкой слабее: она возможна, если в основе лежало прозвище Белковец (человек, похожий на белку), но это уже вторичное образование.

Форма Белковецкая — женский вариант, который в русской традиции закрепился за дочерьми и жёнами Белковецких. По сословной принадлежности такие фамилии чаще всего носили мещане, крестьяне или духовенство (семинаристы иногда получали фамилию по названию родного села). Дворянских родов с такой фамилией в истории не отмечено.

Таким образом, если вы носите фамилию Белковецкая, ваши предки почти наверняка происходили из небольшого села или деревни с названием вроде Белковцы. Где именно — сказать без генеалогического поиска сложно, но географический разброс (Беларусь, Псковщина, Смоленщина) даёт неплохую отправную точку для исследователя.