Фамилия Беляхины — редкий пример, когда суффикс указывает на географию точнее, чем корень. Если вы встретили эту фамилию, велика вероятность, что её носители родом с Русского Севера или из северных областей Поволжья. Причина — окончание -ых, которое в чистом виде (Беляхиных, Беляхины) закрепилось именно в архангельских, вятских, вологодских и пермских говорах. В центральной России такие фамилии обычно переделывали в форму на -ин: Беляхин.

Корень фамилии — прозвище Беляха. В русских диалектах «беляха» могло означать несколько вещей. Чаще всего так называли человека с очень светлыми волосами или бледной кожей — «белявый», «белёсый». Но было и другое значение: в северных говорах «беляхой» называли белку-летягу или, реже, белого зайца. Прозвище мог получить охотник, удачливый на пушнину, либо человек, чем-то напоминавший этого зверька — например, быстрый или пугливый. Третье, менее распространённое значение — «беляха» как белая глина или мел; такое прозвище могли дать гончару или маляру, работавшему с побелкой.

Модель образования проста: к основе Белях- добавили типичный для северных фамилий суффикс принадлежности -ин, но в форме множественного числа — Беляхины. В старой русской традиции это означало «семья Беляхи»: главу дома звали Беляха, а всех его домочадцев — Беляхины. Со временем форма застыла как наследственная фамилия.

Стоит сравнить с однокоренными фамилиями: Беляев (от имени Беляй), Белов (от прозвища Белый), Белкин (от животного или прозвища Белка). Беляхины стоят особняком — их вариант и редок, и узко локален. В дореволюционных переписях Беляхины встречаются в основном среди государственных крестьян и мещан Вятской и Архангельской губерний. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано: это фамилия крестьянская или посадская, без аристократического следа.

Если ваши предки — Беляхины, ищите их в метрических книгах северных уездов: Шенкурского, Холмогорского, Слободского. Фамилия почти не встречается за Уралом и в южных губерниях — это верный маркер северного происхождения.