Фамилия Беляевская — это типичная «топонимическая» фамилия, то есть образованная от названия места. Самый прямой и частый путь её появления: предок носителя фамилии был выходцем из села, деревни или поместья с названием Беляево или Беляевское. Таких топонимов в России десятки: село Беляево есть в Архангельской, Вологодской, Смоленской и других областях, а Беляевское — в Пермском крае и Удмуртии. Человек, переселившийся оттуда, получал прозвище Беляевский — «тот, кто из Беляева», а его дети уже наследовали фамилию.

Суффикс -ск- в фамилии Беляевская — верный признак дворянского или шляхетского происхождения. В XVIII–XIX веках фамилии на -ский/-цкий чаще всего закреплялись за духовенством (по названию прихода) и за дворянами, владевшими имениями. Если предок был священником, фамилию могли дать по названию храма или села, где он служил. Если дворянином — по названию родового поместья.

Есть и вторая версия, более редкая для этой фамилии, но возможная: основатель рода мог получить прозвище Беляевый или Беляевский напрямую, без привязки к географии. Прилагательное «белый» в народной речи имело много значений: «милый», «дорогой», «чистый», «незапятнанный». В таком случае прозвище отражало характер или внешность человека. Кроме того, на Руси «обеленными» называли крестьян, освобождённых от податей, — их тоже могли прозвать Беляевыми. Но эта версия объясняет скорее появление фамилии Беляев, а не Беляевская: чтобы от Беляева образовалась форма на -ский, нужен дополнительный шаг (например, прозвище Беляевский как «сын Беляева»), что усложняет гипотезу.

Сравните с однокоренными фамилиями: Беляев — самая частая форма, Беляевский — более редкая и «географическая», а Беляевская — её женский вариант, сохранившийся в неизменном виде у потомков по женской линии или у тех, кто получил фамилию от отца-Беляевского.

Таким образом, если ваши предки носили фамилию Беляевская, скорее всего, они происходили из рода, владевшего землёй или служившего церкви в одном из многочисленных Беляевых по всей России. Точное место можно попытаться установить по губернским родословным книгам или клировым ведомостям — именно там фамилии на -ский встречаются чаще всего.