Фамилия Белянкина образована от прозвища Белянка. Основа здесь — прилагательное «белый», и прозвища с корнем *бел- были на Руси одними из самых распространённых. Белянкой могли назвать человека по внешности: светловолосого, бледнолицего или просто очень светлого. Но «белый» в старину имел и переносные смыслы — «милый, дорогой, чистый, незапятнанный», поэтому прозвище могло указывать на добрый, незлобивый нрав. Реже так называли «обелённого» крестьянина, то есть освобождённого от податей.

В ономастике модель на -к(а) с последующим суффиксом -ин типична для фамилий, образованных от прозвищ или имён, оканчивающихся на -а/-я. Белянка → Белянкин → Белянкина. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — «сын Белянки». Такая модель преобладала в северных и центральных русских землях.

С. Б. Веселовский в своих работах фиксирует родственные именования: Пётр Константинович Белянка Савельев (1522 год, Углич), Игнатий Васильев Белянка (1526 год, Двина). Это показывает, что прозвище бытовало уже в XVI веке, причём в разных регионах — от Углича до двинских земель. Прозвище закрепилось за человеком как основное обиходное имя, а затем перешло в фамилию.

Интересная деталь: фамилия Белянкина встречается в формах как с одним н, так и с двумя (Белянкина / Белянкина?), но написание через нн — результат поздней орфографической нормы, а не двойной суффикс. Исходная основа — Белянка, поэтому этимологически верно писать с одним н, хотя в современных документах возможны варианты.

Таким образом, предок носительницы фамилии Белянкина — человек по прозвищу Белянка, и это прозвище, скорее всего, отражало либо светлую внешность, либо светлый нрав.