Фамилия Береговскиий — редкий случай, когда на письме ошиблись дважды, и это стало вариантом нормы. В ней сразу бросается в глаза двойное «и» в суффиксе: правильная литературная форма — Береговский (с одним «и»), а двойное «ии» — это либо опечатка, либо сознательное удвоение, которое встречается в документах XIX — начала XX века. Писарь мог машинально добавить лишнюю букву, а человек с такой фамилией потом её закрепил в паспорте.

Корень здесь прозрачный — «берег». Фамилия образована по типичной для польской и украинской шляхты модели: основа + суффикс -ск(ий). В русском языке суффикс -ск- указывает на принадлежность к чему-то или происхождение с определённой территории. То есть Береговский — это тот, кто с берега, живущий у берега. Но не просто «живущий у воды»: в XVI–XVII веках так могли прозвать человека, чей дом стоял на берегу реки или озера, а также того, кто работал на берегу — например, лодочника, паромщика или рыбака, чей промысел был привязан к урезу воды.

Географически фамилия тяготеет к западным и юго-западным губерниям Российской империи — современной Украине, Беларуси и Польше. Именно там модель на -ский была массовой у дворянства и духовенства. Если ваш предок был Береговским, он мог быть мелкопоместным шляхтичем, который владел клочком земли у реки, или священником, чья фамилия образована от названия прихода или местности.

Двойное «и» в окончании — это не орфографическая прихоть, а отражение старой традиции: в дореволюционных метриках фамилии на -ский нередко писали с двумя «и» в именительном падеже (Береговскій). Когда в советское время упростили орфографию, одну букву убрали, но не все носители переписали документы. Поэтому, если вы встретили Береговскиия с двумя «и», скорее всего, это не ошибка, а историческое написание, которое кто-то из предков решил сохранить.