Фамилия Береговенко образована по распространённой в украинской и южнорусской ономастике модели с суффиксом -енко. Этот суффикс изначально указывал на потомка или младшего члена семьи: Береговенко — буквально «сын Берегового» или «маленький Берег». Такие фамилии массово закреплялись в XVI–XVII веках в среде казачества и крестьянства на землях современной Украины, а затем вместе с миграциями распространились на юг России, в частности на Кубань и Дон.

Основа фамилии — прозвище Берег, которое восходит к нарицательному «берег». Вполне вероятно, это прозвище получил тот, кто поселился на берегу реки или другого водоема. В условиях расселения славян по речным системам такое прозвище было практичным и понятным: оно указывало на место жительства, которое служило главным ориентиром для соседей. Позже прозвище Берег, изначально присоединенное к наследственному имени, полностью заменило его как в повседневной жизни, так и в официальных документах.

Интересно, что фамилия Береговенко встречается в двух основных вариантах ударения: на втором слоге (Берегове́нко) и на третьем (Берегове́нко). В говорах юга России и Украины ударение часто смещается, что порождает путаницу при записи в документах. По данным переписей XIX века, носители фамилии чаще всего фиксировались в Харьковской, Полтавской и Екатеринославской губерниях — то есть в зоне интенсивного казачьего землепользования. Если ваш предок носил эту фамилию, скорее всего, он был либо крестьянином-однодворцем, либо казаком, получившим прозвище по месту жительства на реке.