Фамилия Березовскький — на самом деле скорее всего опечатка или редкий вариант написания фамилии Березовский. В русском языке фамилии на -ский/-цкий обычно не имеют мягкого знака перед окончанием, а сочетание «скьк» нетипично для славянской орфографии. Если это не ошибка переписчика или сознательное искажение (например, в эмигрантской записи), то перед нами почти наверняка та же фамилия, что и Березовский.

Разберём её по модели. Основа — «берёза», одно из самых распространённых деревьев в Восточной Европе. Суффикс -ов- указывает на принадлежность или связь, а -ский — типичный топонимический суффикс, которым в XVI–XIX веках оформляли фамилии дворян и духовенства по названиям имений, сёл или городов. Березовский буквально значит «тот, кто из Берёзова» или «с береговой местности, поросшей берёзой». На карте России и Украины десятки населённых пунктов с корнем «берёз-»: Берёзово, Берёзовка, Берёза. Фамилия могла возникнуть в любом из них.

Интересная деталь: в отличие от массовых фамилий на -ов (-ев), которые давали крестьянам и мещанам, фамилии на -ский чаще носили люди, имевшие отношение к земле — помещики, получившие фамилию по своему владению, или выпускники духовных семинарий, где ученикам нередко присваивали «красивые» фамилии по природным мотивам. Так что предок Березовского мог быть либо мелкопоместным дворянином из Берёзова, либо сыном священника, которому дали фамилию при поступлении в училище. Вторая версия для фамилии Березовский встречается чаще, чем первая, — среди духовенства такие «растительные» фамилии были особенно популярны в XVIII–XIX веках.

Вариант с мягким знаком в середине (Березовскький) мог возникнуть при записи фамилии в польской или белорусской традиции, где мягкость согласных передаётся иначе. Но даже в польском языке аналог звучал бы как Brzozowski, без мягкого знака в середине. Скорее всего, это единичный случай орфографической путаницы.

Если вы ищете свои корни, стоит проверить обе версии написания в архивных документах — метрических книгах, ревизских сказках. Фамилия Березовский нередка, её носители рассеяны по всей территории бывшей Российской империи, от западных губерний до Сибири. А вот вариант с мягким знаком почти наверняка сужает круг поиска до одной семьи или даже одного документа.