Фамилия Бесарабчик — одна из тех, что сразу выдают географию. Её основа — «Бесараб» или «Бессараб», то есть указание на выходца из Бессарабии. Бессарабией называли историческую область между Днестром, Прутом и Дунаем, которая в разное время входила в состав Молдавского княжества, Османской империи, Российской империи, а позже — Румынии и СССР (сейчас это в основном Молдова и Одесская область Украины). Прозвище Бессараб давали человеку, который переселился оттуда в другие земли. Фамилии на -чук/-чик особенно характерны для западноукраинских и белорусских земель, где суффикс -чик выполняет ту же роль, что и более известный -чук: указывает на сына или потомка. То есть Бесарабчик — это «сын Бессараба», «потомок того, кого звали Бессараб».

Второй, менее вероятный вариант — что в основе лежит не географическое прозвище, а тюркское личное имя Бесараб. В тюркских языках «бес» означает «пять», а «араб» — «араб», то есть имя могло звучать как «пять арабов» или иметь другое составное значение. Однако для фамилии с таким суффиксом и регионом бытования (западные губернии Российской империи) версия с Бессарабией гораздо естественнее. Ономасты, в частности Б. Унбегаун, относят фамилии типа Бессараб, Бессарабов к группе, образованной от названий местностей, и для Бесарабчика это правило работает напрямую.

Интересная деталь: написание через одно «с» (Бесарабчик, а не Бессарабчик) — не ошибка, а отражение живого произношения. В разговорной речи двойные согласные часто упрощались, и при записи фамилии в документах это закреплялось. Поэтому в архивах можно встретить оба варианта, но Бесарабчик — это не искажение, а полноценная историческая форма.

Сословно носители фамилии, скорее всего, были крестьянами или мещанами. Фамилии с таким суффиксом в XIX веке чаще всего фиксировались именно у непривилегированных слоёв населения, особенно в западных губерниях, где шёл активный процесс закрепления фамилий за бывшими крепостными и государственными крестьянами. Если ваши предки носили эту фамилию, велика вероятность, что они были выходцами из Бессарабии, которые переселились на Волынь, в Подолье или даже дальше — в центральные губернии.