Фамилия Безбородов образована напрямую от прозвища Безбородый. В старину так могли назвать либо очень молодого человека, у которого ещё не выросла борода, либо того, кто по каким-то причинам не носил бороду — например, бритого наголо служилого человека или монаха, давшего обет. В любом случае прозвище было приметным и легко закреплялось в качестве родового имени.

Сама модель образования проста: к основе «безбород» добавили типичный русский суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Безбородого). Это одна из самых распространённых патронимических моделей в России, поэтому фамилия встречается повсеместно, без узкой региональной привязки.

В исторических документах фамилия фиксируется рано. В словаре С. Б. Веселовского упоминается Безбородов Василий Богданов, дьяк, погибший в 1571 году во время московского пожара, и князь Мирон Михайлович Шаховской по прозвищу Безбородый (1577 г.). Эти записи показывают, что уже в XVI веке прозвище бытовало в среде служилых людей и даже знати, а фамилия на -ов успела закрепиться в документах.

Интересно, что приставка «без-» в русских прозвищах часто указывала на внешний недостаток или отсутствие какой-то детали (сравните Безруков, Безносов). В случае с бородой это могло быть и нейтральным описанием, и насмешливым прозвищем — в допетровской Руси борода считалась признаком мужской зрелости и достоинства, так что «безбородый» выделял человека среди окружающих.

Итог простой: фамилия Безбородов — это классический патроним от прозвища Безбородый. Предки носителя этой фамилии, скорее всего, жили в XVI–XVII веках и получили своё родовое имя по характерной внешней примете — отсутствию бороды, независимо от причины.