Вероятно, прозвище Бежук образовано от украинского существительного «бежь» со значением «беглый народ, бродяги», а также «движенье бегом». На территории Украины раньше было много беглых людей. Во второй половине XVIII века появляется «помещичья колонизация». Помещики получают большие наделы земли на Украине и переводят в них крепостных крестьян из центральных губерний. Однако все же основную роль в это время играет «вольная колонизация», начинавшаяся с переселения беглых крепостных крестьян. В малонаселённые районы Юго-Западной России (Причерноморье, Приазовье) направлялся наибольший поток русских переселенцев. Таким образом, основатель рода Бежук мог быть в числе беглых людей. Также не исключено, что он много и быстро передвигался.