Фамилия Бежук — редкий пример, где прозвище, лёгшее в основу, скорее всего, связано с социальным положением или образом жизни предка, а не с профессией или именем. Разбираем её по косточкам.

Вероятнее всего, прозвище Бежук происходит от украинского существительного «бежь», которое имело два смысла: «беглый народ, бродяги» и «движение бегом». На территории современной Украины в XVIII–XIX веках было много беглых людей. Исторический контекст такой: во второй половине XVIII века началась «помещичья колонизация» — помещики получали огромные наделы земли на юге и юго-востоке Украины и переводили туда крепостных из центральных губерний. Но основную роль в освоении этих земель играла «вольная колонизация» — стихийное переселение беглых крепостных крестьян. Наибольший поток русских и украинских переселенцев направлялся в малонаселённые районы Причерноморья и Приазовья.

Отсюда две версии. Первая: основатель рода Бежук сам был среди тех беглых людей, ушедших на вольные земли. Прозвище «Бежук» могло означать «беглец» или «бродяга» — не в оскорбительном смысле, а как констатация факта биографии. Вторая версия: прозвище дали человеку, который много и быстро передвигался, был непоседой или скороходом. Суффикс -ук в украинской ономастике типичен для прозвищ и фамилий (ср. Ковальчук, Гончарук, Пастушук), он указывает на лицо, связанное с тем, что названо в корне.

Версия с «беглым народом» выглядит правдоподобнее: она объясняет не только прозвище, но и историческую судьбу носителя фамилии. В отличие от фамилий, образованных от имён или ремёсел, Бежук напрямую отсылает к драматичным страницам истории — массовому побегу крестьян от крепостного права. Важно: фамилия не польская и не белорусская (где суффикс -ук тоже распространён), а именно украинская по происхождению. Встречается она преимущественно на западе и в центре Украины, что косвенно подтверждает связь с регионами, откуда чаще всего «бегали» на юг.