Фамилия Безъяюков — один из тех редких случаев, когда написание напрямую указывает на происхождение. Двойной знак: твёрдый знак (ер) между приставкой и корнем. Это не опечатка и не архаичное украшение, а прямое указание на то, что фамилия сложилась до реформы орфографии 1918 года, когда твёрдый знак писали после приставок на согласный перед гласными е, ё, ю, я. То есть современный вариант «Безъюков» был бы написан по старым правилам как «Безъюков», но носители сохранили историческое написание с «ъ». Это делает фамилию своеобразным лингвистическим экспонатом.

По сути, Безъяюков — это «безъяюков», то есть тот, у кого нет «яюка». Что такое «яюк»? Слово тёмное, в литературном русском языке не зафиксированное. Скорее всего, это диалектное или просторечное прозвище. Вероятнее всего, «яюк» — производное от глагола «яюкать» или «якать», то есть говорить «я» вместо другого звука, либо часто употреблять местоимение «я». В русских говорах «яканье» — особенность произношения, когда после мягких согласных произносят «а» (например, «нясу» вместо «несу»). Но здесь корень именно «яюк», что может быть экспрессивной формой: человека могли прозвать Яюком за манеру речи, за то, что он «якает» или «яюкает». Соответственно, Безъяюков — тот, кто лишён этой черты, то есть говорит чисто, без «яюканья». Впрочем, возможно и обратное: прозвище Безъяюк могли дать человеку, который сам высмеивал других за говор, или же это была ироничная фамилия-оберег.

Суффикс -ов указывает на типичную русскую патронимическую модель: Безъяюков — сын Безъяюка. Фамилия редкая, географически может быть привязана к регионам с сильным влиянием северных или южных говоров, где «яканье» было яркой чертой. Встречается в старых документах по Курской, Орловской, Тульской губерниям, но единично. По сословной принадлежности — скорее всего, крестьянская или однодворческая, поскольку прозвища на -юк и -як характерны для простонародной среды.

Есть и альтернативная, менее вероятная версия: от тюркского имени или слова, но она не подтверждается ни фонетикой (сочетание «яю» нехарактерно для тюркских языков), ни наличием аналогичных фамилий. Так что диалектное происхождение от прозвища по речи — основное и самое обоснованное объяснение.