Фамилия Бичикова — один из тех случаев, когда географический ключ важнее морфологического. В отличие от большинства русских фамилий на -ов/-ев, которые легко объяснить из славянских корней, эта фамилия почти наверняка ведет в Якутию. Основа здесь — якутское слово «бичик», которое переводится как «узор» или «роспись». Соответственно, прозвище Бичик могли дать человеку, чье ремесло было связано с нанесением орнамента, росписью тканей или, шире, с любым декоративным искусством. Это типичная «профессиональная» модель, только иноязычная по происхождению.

Формант -ов в фамилии Бичикова — стандартный русский патронимический суффикс, указывающий на принадлежность: «сын Бичика». Такое сочетание якутской основы с русским окончанием — характерная черта фамилий, возникших в зоне активного русско-тюркского (в данном случае тюркско-монгольского) контакта, в Сибири и на Дальнем Востоке. Если ваши предки родом из Якутии или Иркутской области, версия с якутским «бичик» становится основной.

Впрочем, есть и менее вероятная, но возможная версия. В русских говорах могло бытовать прозвище Бич (от слова «бич» — кнут, плеть) или Бичка. В таком случае фамилия Бичиков (а женская форма Бичикова) была бы образована от уменьшительной формы Бичик. Однако эта версия слабее: в центральных и северных русских говорах фамилии на -ик-ов встречаются редко, и они обычно образованы от прозвищ на -ик (Кузьмик → Кузьмиков), а не от основ на «ч». Якутское происхождение объясняет и редкость фамилии, и ее характерный «нерусский» корень.

Таким образом, носительница фамилии Бичикова с высокой вероятностью — потомок мастера-орнаменталиста из Якутии, чье прозвище было русифицировано при записи в метрические книги.