Фамилия Бигальская — вариант женского рода от Бигальский. Это типично польская или западнорусская модель на -ский/-ская, указывающая либо на географическое происхождение, либо на принадлежность к шляхетскому сословию. В отличие от простых крестьянских фамилий на -ов/-ев, такие фамилии в Польше и на западе Российской империи часто носили дворяне, но могли получить и мещане или крестьяне, переселившиеся из конкретного места.

Корень фамилии — Бигал- — неочевиден. Скорее всего, он восходит к названию населённого пункта. В Польше и Беларуси есть несколько мест с похожими названиями: деревня Бигале (Bigale) в Лодзинском воеводстве или село Бигаль (Bigal) в исторической Галиции. Также возможно происхождение от личного прозвища Бигал — «крикун» или «задира» (от польского bigosować — «шуметь, скандалить»). В белорусских говорах «бігаль» могло означать «беглец» или «бродяга», что тоже могло закрепиться за родоначальником.

Встречается фамилия преимущественно в западных регионах — на территории современной Беларуси, в Польше и среди потомков шляхты, переселившейся в Сибирь и на Украину в XIX веке. В России носительниц фамилии Бигальская немного, и они в основном сосредоточены в Калининградской области и крупных городах — Москве и Санкт-Петербурге.

Словообразовательная модель проста: суффикс -ск- указывает на связь с местом. То есть Бигальский — «тот, кто из Бигалей». Фамилия не имеет отношения к тюркским корням (вопреки возможной ассоциации с «биг» — «князь»), хотя в редких случаях могла быть русифицированным вариантом татарской или башкирской фамилии Бигалов. Но для формы на -ская такое объяснение маловероятно.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их корни в метрических книгах католических или униатских приходов на территории современной Польши или Западной Беларуси — именно там эта фамилия встречается чаще всего.