Фамилия Бижаев образована по стандартной русской модели с суффиксом -ев, который присоединяется к основе, оканчивающейся на мягкий согласный или шипящий. Это указывает на то, что фамилия — притяжательное прилагательное, отвечавшее на вопрос «чей?»: то есть Бижаев — сын или потомок человека по имени или прозвищу Бижай.

Ключевой вопрос — что стоит в основе. Здесь есть несколько версий, и самая прямая ведёт к тюркским языкам. В осетинском, балкарском, кумыкском и других языках Кавказа слово «бижа» или «биж» имеет значение «обезьяна». Вряд ли это прямое прозвище по внешности — скорее, ласкательное или шутливое именование, какое давали подвижному, крикливому ребёнку. В тюркской ономастике такие «звериные» прозвища не редкость: они не несли оскорбления, а служили оберегом или домашним именем.

Вторая, менее вероятная версия — от арабского имени Бижан (персидского происхождения, распространённого у мусульманских народов). Но в таком случае фамилия скорее звучала бы как Бижанов, а Бижаев предполагает именно основу Бижай, где -ай — типичный тюркский имяобразующий аффикс (ср. Кудай, Таймаз, Алтай).

Географически фамилия Бижаев чаще всего встречается среди осетин и балкарцев, реже — у чеченцев и кумыков. Это подтверждает тюркско-кавказское происхождение корня. В русских документах фамилия фиксируется с XIX века, когда горцам массово записывали фамилии по отцу или деду, оформляя их русскими суффиксами.

Таким образом, предок носителя фамилии Бижаев, скорее всего, был человеком с прозвищем Бижай — «обезьянка», «шалун», либо это имя-оберег. Фамилия недворянская, крестьянская или горская, без сложной социальной истории.