Фамилия Бизякин — не самая частая, и её происхождение стоит искать не в московских боярских книгах, а в диалектной лексике северных и восточных областей России. Основа здесь — прозвище Бизяка. В говорах Вятки, Перми и Сибири словом «бизя» или «бизя» называли бродягу, озорника или бесшабашного человека, который не сидит на месте. Слово это тюркского происхождения (сравните с татарским «биз» — «бесноватый», «буйный»), но в русской среде оно обросло своим значением.

Суффикс «-ин» указывает на типичную модель: чей? — Бизякин сын, то есть потомок Бизяки. В русских фамилиях суффикс «-ин» присоединяется к основам на «-а/-я», поэтому форма «Бизяков» была бы грамматически неверна. Это сразу отсекает фамилию от окающих вариантов вроде «Бузякин» — те могли бы возникнуть в южнорусских говорах, но наша форма твёрдо указывает на север или восток, где «аканье» не было нормой.

Любопытная деталь: в некоторых переписях XVII века встречается прозвище Бизюка (с тем же корнем, но другим суффиксом). От него пошли фамилии Бизюкин и Бизюков. Бизякин же — более редкий вариант, возможно, локальный для одного уезда. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или посадскими людьми из Вятской или Пермской губерний, где фамилии на «-ин» от прозвищ были особенно распространены.

Есть и другая, менее убедительная версия: от имени Бизя, которое могло быть уменьшительной формой от Борис или Бизюн (календарное имя Виссарион). Но в этом случае фамилия должна была бы встречаться чаще в южных регионах, где любили сокращать имена. Поскольку основная масса носителей Бизякиных сосредоточена в Кировской области и на Урале, версия с прозвищем «бродяга» выглядит надёжнее.