Фамилия Блажеюк — характерный пример украинской (западноукраинской) фамилии, образованной от христианского имени Блажей. Это народная форма имени Власий (церковное Власий, в просторечии — Влас, Блаж, Блажей). В основе лежит греческое «власиос» — «простой, грубоватый», но в народном сознании имя прочно связали с корнем «благо» и «блажь», поэтому Блажеем в некоторых говорах называли не только обладателя имени, но и чудаковатого, блаженного человека.

Суффикс -юк указывает на принадлежность к роду, характерен для Подолья, Волыни, Галичины. Если русские фамилии на -ов/-ин отвечали на вопрос «чей?», то украинские на -ук/-юк — «чей сын?» или «чей малый?». Блажеюк буквально означает «маленький Блажей» или «сын Блажея». По такой же модели сложились соседние фамилии: Блажейчук, Блажевич, Блаженко.

Географически фамилия Блажеюк чаще всего встречается на западе Украины — в Хмельницкой, Винницкой, Ровненской областях, а также среди переселенцев в соседней Беларуси и в польском Подляшье. В дореволюционных метрических книгах носители фамилии записаны преимущественно как крестьяне-хлеборобы или ремесленники, поскольку фамилия недворянская и не указывает на владение землёй.

Интересная деталь: в польском языке есть аналог Блажей (Błażej), и фамилия могла возникнуть и на польско-украинском пограничье, где католический святой Власий (Święty Błażej) особо почитался как покровитель горла и скота. Поэтому у части носителей фамилии предки могли быть не православными, а греко-католиками или католиками.

Таким образом, Блажеюк — это не «блаженный» в прямом смысле, а потомок человека по имени Блажей, жившего, скорее всего, в западнорусских землях в XVI–XVIII веках.