Фамилия Боберський — редкий гость в русском ономастиконе, и её звучание сразу выдаёт польское или украинское происхождение. Она образована по модели, типичной для шляхетских фамилий: к основе «Бобер» прибавлен суффикс -ськ- (польск. -ski), который указывал на принадлежность к месту или роду. В польской традиции фамилии на -ский носили в основном дворяне, землевладельцы, чьи предки владели поместьем с названием Бобры, Боброво или Боберка. Таких топонимов в Польше, Беларуси и на Западной Украине немало: село Бобры в Лодзинском воеводстве, Боберка на Львовщине, Боброво в Подляшье. Человек, получивший фамилию Боберський, вероятно, был либо владельцем такого имения, либо выходцем из него.

Однако есть и вторая версия, более простая и демократичная. Основа «бобер» могла быть не топонимом, а прозвищем. В славянских языках бобёр — животное трудолюбивое, хозяйственное, но также ценимое за мех. Прозвище Бобер могли дать человеку с густыми тёмными волосами, бородой, а может, и просто запасливому хозяину. В этом случае фамилия Боберський — это не «землевладелец из Бобров», а «сын Бобра», то есть потомок человека с таким прозвищем. Суффикс -ськ- здесь работает как притяжательный, хотя для прозвищ типичнее суффиксы -ов/-ев или -ин. Но в польской и западнорусской традиции -ский мог присоединяться и к личным именам, особенно если носитель хотел подчеркнуть свой статус.

С точки зрения географии, фамилия Боберський почти не встречается в современной России. Её ареал — исторические земли Речи Посполитой: современная Польша, Западная Украина, юго-восток Беларуси. В украинских переписях XIX века такие фамилии фиксировались среди греко-католического духовенства и мелкой шляхты. Например, известен Иван Боберський (конец XIX века) — украинский общественный деятель, организатор спортивного движения «Сокол» в Галичине. Его фамилия — как раз пример того, что носитель не обязательно был магнатом: Боберськие могли быть священниками, учителями, ремесленниками, но фамилия сохраняла «шляхетский» суффикс как память о происхождении.

Написание с мягким знаком (Боберський, а не Боберский) — характерная черта украинской орфографии, где -ськ- передаёт мягкость согласного. В польском варианте фамилия выглядит как Boberski, без мягкого знака. Если предки вашего Боберського эмигрировали в Российскую империю, фамилию могли переписать на русский лад — Боберский, но исходная форма сохраняет западный колорит.

Спор между топонимической и прозвищной версией решается просто: обе правдоподобны, но первая (от названия места) статистически встречается чаще для фамилий на -ский. Если бы фамилия была Бобров или Бобер, прозвище было бы очевидно. А вот -ский — маркер географии. Так что, скорее всего, первый Боберський — это человек, который или владел землёй в Бобрах, или оттуда родом. Но и прозвищный вариант исключать нельзя: в ономастике нередки случаи, когда «шляхетский» суффикс прирастал к простому прозвищу из-за социального престижа.