Фамилия Бобришев образована от прозвища или имени Бобрыш. В основе лежит корень «бобр» — животное, хорошо знакомое в Древней Руси. Бобровый промысел был важной частью хозяйства: бобров ценили за мех и за бобровую струю (мускусную железу, использовавшуюся в лекарствах и парфюмерии). Прозвище Бобрыш могли дать человеку, который добывал или торговал бобровым мехом, либо тому, кто внешне или по характеру напоминал этого зверя — например, был коренастым, трудолюбивым или обладал густыми бровями и волосами.

Модель образования фамилии — патроним по суффиксу -ев. В русской ономастике суффикс -ев присоединялся к основам на мягкий согласный или шипящий. В данном случае основа «Бобрыш» дала форму «Бобрышев», где под ударением оказался суффикс, и в результате безударная гласная «ы» в корне со временем перешла в «и» — так появилось современное написание «Бобришев». В старых документах фамилия могла фиксироваться как Бобрышев, и эта форма до сих пор встречается.

Редкость суффикса -ыш в русских фамилиях придаёт Бобришеву характерную черту. Сравните с более частыми Бобров, Бобр, Бобриков. Форма на -ыш обычно указывает на уменьшительное или уничижительное прозвище (ср. Голыш, Малыш, Крепыш). Значит, Бобрыш — не просто «бобр», а скорее «бобрёнок» или «маленький бобр», что могло быть ласковым или ироничным прозвищем в семье или в округе.

Фамилия Бобришев фиксируется в основном в южнорусских и центральных областях — в Воронежской, Курской, Белгородской губерниях, а также на Дону. Это указывает на то, что предки носителей фамилии были, скорее всего, крестьянами или казаками. В казачьей среде прозвища по животным были обычны, и Бобрыш могло закрепиться за метким стрелком или удачливым охотником.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» модель с суффиксом -ыш рассматривается как характерная для прозвищ, перешедших в фамилии без дополнительного оформления (например, Малыш, Глупыш), но с последующим добавлением -ев/-ов. Бобришев — как раз такой случай: прозвище Бобрыш сначала стало неофициальной фамилией, а потом получило стандартный патронимический суффиксальный прирост.

Спорных версий у фамилии немного. Иногда её пытаются связать с топонимом Бобришево (такие деревни есть в Тверской и Псковской областях), но первичным в любом случае оказывается прозвище от животного: название села само произошло от того же корня. Поэтому для носителя фамилии Бобришев наиболее вероятная история предков — человек, имевший отношение к бобровому промыслу или получивший шутливое прозвище от окружающих.