Фамилия Богосай — редкий пример, где корень сразу бросается в глаза, но значение не лежит на поверхности. Первая часть, «Бого-», явно указывает на связь с Богом. Вторая часть, «-сай», в русских фамилиях почти не встречается, и это ключ к разгадке.

Скорее всего, перед нами фамилия, образованная от прозвища, данного человеку с необычной внешностью или характером. «Сай» в тюркских языках означает «светлый», «сияющий», «чистый», а также «ровный», «гладкий». В этом случае Богосай — это «Божий свет» или «сияющий, как Бог». Такое прозвище могли дать человеку с очень светлыми волосами, ясными глазами или кротким, «святым» нравом. Версия правдоподобна, если учесть, что на юге России, в казачьих областях и в Поволжье, тюркские и славянские языки веками смешивались, порождая составные прозвища.

Менее вероятная гипотеза — что фамилия происходит от диалектного слова «сай» в значении «овраг» или «балка» (тоже тюркское заимствование). Тогда Богосай — «Божий овраг», то есть человек, живший у оврага, который местные считали святым или отмеченным Богом. Но такое объяснение требует, чтобы фамилия возникла в местах, где слово «сай» в значении «овраг» было в ходу, а это узкий ареал.

Фамилия образована по модели, характерной для украинских и южнорусских фамилий: основа + нулевой суффикс. Суффикса -ов или -ин здесь нет, что говорит о её относительно позднем закреплении — возможно, в XVIII–XIX веках, когда прозвище записали в документах без дополнительного оформления. Носители фамилии Богосай встречаются в основном в Краснодарском крае, Ростовской области и на Украине — то есть в зоне контакта славянских и тюркских народов, что подтверждает первую версию.

В написании фамилии возможны варианты: Богосай и реже Богосай. Ударение, скорее всего, падает на последний слог — Богоса́й, что типично для украинских фамилий. Это не дворянская фамилия, не искусственная семинарская, а живое прозвище, которое закрепилось за конкретным родом.