Фамилия Бограева — женская форма от Бограев, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. В глаза сразу бросается основа «Богр-», которая в русском языке не встречается как самостоятельное слово. Это надёжный признак того, что корень — тюркский или, с меньшей вероятностью, иранский.

Скорее всего, в основе лежит тюркское слово «богыр» или «багыр» — «печень». В тюркской антропонимике печень, как и сердце, считалась вместилищем духа, мужества, храбрости. Прозвище Богыр (Багыр) могли дать сильному, смелому человеку, а иногда — человеку с крупным телосложением (по ассоциации с «печенью» как символом сытости и здоровья). В татарском, башкирском, казахском и других языках есть личные имена Багыр, Бакыр (с возможным чередованием гласных), а фамилии на -ев отсюда — обычное дело при русификации.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с древнетюркским словом «баг» («бог») — «господин», «вождь», «бог». В этом случае Бограй — форма с аффиксом принадлежности -рай (как в именах Тиграй, Алтрай). Тогда фамилия означала бы «принадлежащий господину» или «божественный». Однако эта гипотеза слабее, потому что модель «Бог-рай» в русских фамилиях почти не встречается, а «печёночная» версия подтверждается множеством тюркских фамилий с корнем «богыр».

Суффикс -ев (а не -ов) указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или «й»: Бограй → Бограев. Такая модель типична для русификации тюркских имён и прозвищ, особенно среди татар, башкир, ногайцев и народов Кавказа. Женская форма Бограева, соответственно, просто наследует мужской вариант без изменений.

Фамилия редкая, в общероссийских списках встречается эпизодически. По географии бытования — в основном Северный Кавказ (особенно Ингушетия, Чечня, Северная Осетия) и Татарстан. Это говорит о том, что предки носителей фамилии были, скорее всего, крещёными или обрусевшими тюрками либо принимали православие в процессе интеграции в русскую государственность.

Таким образом, Бограева — это фамилия, берущая начало от тюркского прозвища по личному качеству (храбрость, сила, дородность) или, реже, от титула. В любом случае, корень глубокий, и фамилия хранит память о дославянском прошлом её носителей.