Фамилия Больковская — одна из тех, что сразу указывает на географию предков: её носители почти наверняка происходят из мест, носивших название Больково или Больков. Таких топонимов в России и соседних землях несколько: Больково есть в Костромской, Тверской, Ярославской, Смоленской областях, а также в Беларуси и на Украине. Фамилия образована по продуктивной модели «название села + суффикс -ский/-ская», которая в XVII–XIX веках закрепилась за дворянством, духовенством и мещанством, но встречалась и среди крестьян, переселившихся в города.

Основа Больк- неочевидна. Скорее всего, она восходит к прозвищу или имени Болька — уменьшительной форме от Болеслав или, реже, от Владимир (через народное Володька → Волько → Болько?). В ономастике известен факт: в древнерусских говорах «больк» могло означать «крикливый, громогласный» или «болезненный» (от «боль»). Но надёжнее связывать с личным именем: в актах XV–XVI веков упоминаются крестьяне и посадские люди с именем Болько, что подтверждает словарь С. Б. Веселовского «Ономастикон». Таким образом, село Больково могло получить имя от первого поселенца или владельца — Больки.

Фамилия Больковская — относительно редкая. По данным современных справочников, она сосредоточена в западных и центральных областях России, а также в Беларуси. Обратите внимание на суффикс -ск-: он не указывает на польское происхождение (как часто думают), а лишь на топонимический способ образования, который одинаково активно использовали и русские, и поляки, и украинцы. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были выходцами из одного из сёл с названием Больково — искать корни стоит в писцовых книгах или метриках тех губерний.

Мужской вариант фамилии — Больковский, женский — Больковская. Склоняется по правилам прилагательных: нет Больковской, к Больковской, о Больковской. Ударение, по аналогии с большинством фамилий на -ский, падает на второй слог: БолькОвская.